حلّ المعادلات التّفاضليّة الخطّيّة المتجانسة باستخدام المتسلسلات ( طريقة فروبنيوس )

حلّ المعادلات التّفاضليّة الخطّيّة المتجانسة باستخدام المتسلسلات

( طريقة فروبنيوس )

Solving homogeneous linear differential equations using series

(Frobenius method)

م. م. زياد محمد عبد⁽[1]⁾ Ass. Lec. Zeyad Mohammed Abed

Ass. Lec. Wisam Rafid Dawood م. م. وسام رافد داود⁾[2]⁽

تاريخ الإرسال:15-4-2024                           تاريخ القبول:27-4-2024

تحميل نسخة PDF

الملخص

عند دراسة الرّياضيات ينبغي الإشارة الى المعادلات التّفاضليّة ،  ويكون فيها المتغير(دالة)  إذ إن هذه المعادلة تظهر العلاقة بين (الدالة) ومشتقاتها.  وإنّ حلّ مثل هذه المعادلات التّفاضليّة يعني إيجاد (الدوال) -y- التي تحقق تلك المعادلة،  ومجموعة هذه الدوال تسمى ( الحلّ العام للمعادلة)  وكل عنصر من هذه المجموعة، يسمى (حلّا خاصًّا بالمعادلة).

أمّا المعادلة التّفاضليّة العاديّة،  فتكون فيها (الدالة)  بعنصر واحد.  وذلك يكون عكس( المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة)  التي يكون فيها المتغير( دالة)  وبعدة متغيرات،  والمشتقات مشتقات جزئية و(المعادلات التّفاضليّة)  مهمة جدا في تفسير الظواهر العلمية،  الفيزيائية والكيميائيّة.

والسّبب في ذلك يعود الى أنّنا نستطيع كتابة (معادلات)  بمتغيرات كثيرة (كدالة) للمشتقات مثل سرعة،  وموقع الأجسام المختلفة.  لذلك يلزم حلّ هذه (المعادلات)  وكيفيّة التعامل معها، ويجب التنوية له في حالات كثيرة لا يمكن حلّ المعادلة بالطريقة الجبريّة التّامة،  فلابدّ من التّعرف إلى (نظريات وخواص هذه المعادلات) والتي بطبعها تسهل الحلّ.

ومن الممكن تصنيف المعادلات الى فئات مختلفة بحسب ( رتبة المعادلة )، إذ إنّ رتبة المعادلة هي أعلى (مشتقة )  تظهر بالمعادلة،  أمّا درجة المعادلة فهي (الاس) المرفوع اليها على المشتقة.

الكلمات المفتاحيّة : المعادلات التّفاضليّة – حلّ المعادلات التّفاضليّة – طريقة فروبنيوس

Abstract

When studying mathematics, differential equations should be indicated, in which the variable is (function) as this equation shows the relationship between (function) and its derivatives. Solving such differential equations means finding (functions) -y- that achieve that equation, and the set of these functions is called (general solution of equation). And every element of this group, called “equation solution”. The normal differential equation is one element. This is the opposite (partial differential equation) in which the variable (function) and several variables, the derivatives are partial derivatives and (differential equations) are very important in the interpretation of scientific phenomena, physical and chemical. The reason for this is that we can write (equations) with many variables (as a function) of derivatives such as speed, location of different objects. Therefore, it is necessary to resolve these (equations) and how to deal with them. In many cases, the equation cannot be resolved in a totally compulsory manner. It is necessary to recognize (theories and characteristics of these equations) which by their nature facilitate the solution. Equations can be classified into different categories by (equation grade), as the equation rank is higher (derivative) and the equation grade is higher than the derivative.

Key Word: Differential equations- solving differential equations- Frobenius method.

 

المقدمة : المعادلات التّفاضليّة : المعادلة التّفاضليّة هي معادلة تربط (دالة واحدة) ⁽¹⁾ . وفي التطبيق نمثل (الدوال) عموماً (كميات مادية) ، وتمثل المشتقات (معدلات التغيير الخاصة) . وتعرف المعادلة التّفاضليّة العلاقة بين الأثنين ^{(4) (3) (2)} .

نظراً لأن هذه (العلاقة) شائعة جدا . فأن (المعادلات التّفاضليّة) تلعب دوراً هاماً ، في العديد من التخصصات مثل الهندسة والفيزياء والاقتصاد وعلم الأحياء ، وتكون الدراسة للمعادلات التّفاضليّةمن الممكن حلّها بواسطة (صيغة واضحة). ومع ذلك قد يتم تحديد العديد من خصائص (حلّول معادلة تفاضلية) معينة دون حسابها بالضبط.

وجد طرق عديدة ( لحلّ المعادلات التّفاضليّة ) منها :

• من الرتبة الأولى :-
• فصل المتغيرات : بفصل المتغيرات في جهة ، ومن الجهة الاخرى على جانبي المعادلة ، ومن ثم القيام بمكاملة الطرفين للحصول على شكل (دالة عادية) .
• (التعويض) .
• (المعادلات الخطّيّة).
• (برنولي).
• من الرتبة :-
• اخترال (الرتبة) .
• تحديد (المعاملات) .
• مبادلة (المتغيرات).
• طريقة (كوشي – أويلر) لحلّ المعادلات التي فيها رتبة المشتقة هو نفسه ( أس معاملها ) .
• طريقة المتابعات (الأسية) .

ويوجد أكثر من أسلوب (للحلّ العددي) ، كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلة (لابلاس) و(برنولي) وغيرهم.

وتتحدد ( درجة المعادلة التّفاضليّة ) بحسب أس المشتق ، ذو الرتبة الأعلى . عندما تكون (المعادلة التّفاضليّة) من الرتبة الثالثة . (أي ان أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث ) . فدرجة المعادلة تتحدد بحسب (أس) هذا (التفاضل) . فمثلا أذا كان مرفوع الى (أس) -5- تكون المعادلة من الدرجة الخامسة.

أنواع المعادلات التّفاضليّة : یمکن تقسيمها إلى قسمين:

• معادلات تفاضلية (عادية) – تحتوي على (توابع) ذات (متغير مستقل) ومشتقات هذا المتغير.
• معادلات تفاضلية (جزئية) – تحتوي (دوال رياضية) لأكثر من (متغير مستقل) في مشتقاتها الجزئيّة.

* كل من المعادلات التّفاضليّة (العادية) و(الجزئيّة) يمكن أن تصنف الى خطية وغير خطية.

* تكون المعادلة التّفاضليّة خطية بشرطين :

الشرط الأول : إذا كانت معاملات (المتغير التابع) والمشتقات فيها (دوال)، في المتغيرالمستقل فقط أو ثوابت.

الشرط الثاني : اذا كان (المتغير التابع والمشتقات) غير مرفوعة الى (اس) ، أي جميعها من الدرجة الأولى ، وتكون (غير خطية ) فيما عدا ذلك .

* كل معادلة تفاضلية خطية تكون من الدرجة الأولى،

* ولكن ليست كل المعادلات التّفاضليّة من الدرجة الأولى هي خطية ، لأن الدرجة تتحدد حسب (أس التفاضل الأعلى)، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل ( مرفوعة لأسس ) غير الواحد ، دون أن يؤثر ذلك على الدرجة وهذا بشرط حلّ المعادلة التّفاضليّة.

معادلة برنولي التّفاضليّة من الرتبة الأولى والدرجة الأولى وليست معادلة خطية :

 

الفصل الأول: المعادلات التّفاضليّة الجزئيّة

تعريف 1: تعرف المعادلة التّفاضليّة (Differential Equation) بأنها إي معادلة ليست متطابقة مكونة من دوال جبرية أو دوال متساوية أو معا وتحتوي على مشتقة أو مشتقات دالة غير معلومة والشكل العام للمعادلة التّفاضليّة هو ⁽⁵⁾

مثال1 : في ما يلي بعض الأمثلة على المعادلة التّفاضليّة :

1. i)
2. ii)

iii)

1. iv)
2. v)

تعريف 2: تعرف المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة: أنّها المعادلة التّفاضليّة التي تحتوي على دالة غير معلومة في متغيرين مستقلين أو أكثر ومشتقاتها الجزئيّة بالنسبة للمتغيرات المستقلة .

الشكل العام للمعادلة التّفاضليّة الجزئيّة في المتغير المعقد u والمتغيرين المستقلين هو ⁽¹⁾

 

مثال2 : في ما يلي بعض الأمثلة على المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة :

1. iv)

vii)

viii)

ix)

1. x)
2. xi)

xii)

xiii)

تعريف3 : تعرف رتبة المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة ((Order of partial Differential Equations أنّها رتبة أعلى مشتقة جزئية في تلك المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة .

مثال 3: المعادلات التّفاضليّة الجزئيّة (xii) في (4) تكون من الرتبة الأولى.

المعادلات التّفاضليّة الجزئيّة (vi – xi ) في (4) تكون من الرتبة الثانية.

المعادلات التّفاضليّة الجزئيّة (xiii) في (4) تكون من الرتبة الرابعة.

تعريف 4:تعرف درجة المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة: أنها الدرجة الجبرية للمشتقة الجزئيّة ذات الرتب العليا والتي تظهر في تلك المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة، وتكون درجة المعادلة التّفاضليّة الجزئيّة عدد صحيح موجب (3).

الفصل الثاني: حلّ المعادلات التّفاضليّة باستعمال المتسلسلات

هناك الكثير من المعادلات التّفاضليّة لا يمكن حلّها بالطرق المعتادة كالمعادلة التّفاضليّة وبعض منها يمكن حلّها باستعمال المتسلسلات ويمكننا الحلّ بطريقتين .

أولًا : باستعمال متسلسلة تايلر وذلك بفرض ان حلّ المعادلة التّفاضليّة هو ^{(2) , (4)}

ومنها نجد

ثم نعوض عن في المعادلة التّفاضليّة ونجد قيم الثوابت  بدلالة الثابتين أو احدهما ثم نعوض عن قيم الثوابت  بالفرضية . وهنا يجب ان تكون المتسلسلة متقاربة لقيم معينة لـ .

مثال (1) حلّ المعادلة التّفاضليّة

الحلّ / نفرض

وبتعويض في المعادلة التّفاضليّة نحصل على

وبمساواة معاملات لكل  بالصفر نحصل على :

وبملاحظة أنّ :

مثال (2) حلّ المعادلة التّفاضليّة ب باستعمال المتسلسلات.

الحلّ : نفرض :

 

وبتعويض المعادلات الثلاث أعلاه في المعادلة التّفاضليّة نحصل على:

وبمساواة معاملات المختلفة القوى بالصفر

وعليه فأن الحلّ العام للمعادلة التّفاضليّة هو :

 

مثال (3) حلّ المعادلة التّفاضليّة باستعمال المتسلسلات ^{(3) , (4)}.

 

الحلّ : نفرض : وبتعويض  في المعادلة التفاضلية  نحصل على:

 

وبمساواة معاملات x المختلفة القوى بالصفر

وبهذا يكون الحلّ العام للمعادلة التّفاضليّة:

ثانيًّا : طريقة فروبنيوس : إنّ المعادلات التّفاضليّة من الصعب حلّها بالطرق الاعتيادية ، ولا يمكن كتابة الحلّ (بصورة متسلسلة تايلر) فعليه يجب أن يستخدم ( طريقة فروبنيوس ) ^{(2) , (3) , (7)} وهي :

و متسلسلة فروبنيوس ذات فعالية بايجاد حلّ المعادلات التّفاضليّة التي بالصورة :    

حيث هي كثيرات حدود لـ x . وسنبين طريقة فروبنيوس من خلال الأمثلة التالية :

مثال (1) حلّ (المعادلة التّفاضليّة) التالية :  

الحلّ : بفرض أن                                          

وبمساواة معاملات x المختلفة القوى بالصفر

   

مثال (2): جد حلّ المعادلة التّفاضليّة باستعمال طريقة فروبنيوس

الحلّ : نفرض أن :

وبمساواة معاملات بالصفر ينتج لنا :

وبمساواة معاملات بالصفرنحصل على

وبمساواة معاملات بالصفرنحصل على

 

          الفصل الثالث

1. طريقة فروبنيوس – Frobenius Method لحلّ المعادلة الخطّيّة حول النقط العادية

يمكن إيجاد حلّول متسـلسـلات القوى للمعادلات التّفاضليّة الخطّيّة حول النقط العادية. فإذا كانت نقطة عادية، فإن الحلّ المطلوب يجب أنُ يفرض على الشكل

توجد حلّول متســلســلات القوى في حالات النقط الشاذة المنتظمة. لنعتبر المعادلة التّفاضليّة ^{(6) , (7)}

لنفرض أن P(0)=0الأمر الـذي يعني أن النقطة نقطة شـاذة للمعادلة التّفاضليّة (1.1). نبحث الآن عن حلّ المعادلة (1.1) في حالة نضع المعادلة (1.1) في الشكل :

أو في الشكل

طبعاً من الواضـــح هنا أنه إذا كانت الدالتان ثابتتين فإن المعادلة (1.5) تصـبح على شكل معادلة أويلر المعروفة،

 

على أية حال، نفرض أن الدالتين ليستا ثابتتين ولكنهما تحلّيليتان عند النقطة بمعنى ان النقطة هي نقطة شـاذة منتظمة للمعادلة التّفاضليّة.

وبما أن (x) دالتان تحلّيليتان ،اذن فحسب تعريف الدوال التحلّيلية، يمكن تمثيلهما على شـكل متســلسـلات قوى في الشكل

أيضاً، بتفاضل (1.7) نحصل على

بالتعويض من (1.6), (1.7), (1.8), (1.9) في المعادلة (1.5) نحصل على

 

بعد الضـــرب والاختصــــار يتم مســــاواة معامالات قوى x المتختلفة بالصفر

ولنبدأ بمســــاواة معاملات قوى بالصـــفر، والقســـمة على باعتبار أن فنحصـل على ما يسـمى “بمعادلة تعريف r“

وقد سميت هكذا لأنها تعرفنا بشـــكل r عند حلّها ، وهي تســـمى بالإنجليزية (Indicial Equation). إذن معادلة التعريف هي

وبحلّ معادلة التعريف هذه نخصـــل على الجذرين ، وبمســـاواة معاملات بالصفر يمكن ان نحصل على الصورة الاختزالية لمعاملات . النظرية التالية توضح شكل الحلّ الذي بالطبع يتوقف على طبيعة الجذرين .

 

وحسب نظرية فروبنيوس (Frobenius Theorem)

لنفرض أن هما جذران معادلة التعريف (1.10) الخاصة بالمعادلة التّفاضليّة (1.1) إذن، طبقاً لشـكل الجذرين فإن حلّ المعـادلة (1.1) يمكن أن ينتمي إلى حـالـة واحـدة من الثلاث حالات :

الحالة الاولى : اذا كان الجذران مختلفين، والفرق بينهما ليس عددا صحيحا أي اذا كان :

فإن حلّ المعادلة التّفاضليّة (1.1) هو                          

حيث :

الحالة الثانية :إذا كان الجذران مختلفين، والفرق بينهما عددًا صحيحًا أي اذا كان :

فإن حلّ المعادلة التّفاضليّة (1.1) هو                          

حيث :

الحالة الثالثة : إذا كان الجذران مكررين، بمعنى أن يكون إذن فإنّ حلّ المعادلة التّفاضليّة (1.1) هو

فإن حلّ المعادلة التّفاضليّة (1.1) هو                          

(مثال1) باستخدام طريقة متســلسـلات القوى، أوجد الحلّ العام للمعادلة التّفاضليّة :

في هذه المعادلة لدينا

وبما أن

إذن فإن هي نقطة شـاذة للمعادلة التّفاضليّة المعطاة. نبحث الآن في ما إذاكانت نقطة شـاذة منتظمة أم غير منتظمة. بما أن

إذن الدالتـان تحلّيليتان عند ، وعلى هذا فالنقطة x=0 هي نقطة شاذة منتظمة. يمكن أيضاً معرفة إذا كانت النقطة x=0 شاذة منتظمة أم لا ولكن بأسلوب آخر. بعا أنه يمكن وضع المعادلة التّفاضليّة المعطاة في الشكل :

     إذن نجد أن الدالتين

تحلّيليتان عند النقطة x=0 إذن فإن x=0 هي نقطة شـــاذة منتظمـة للمعـادلـة التّفاضليّة المعطاة، ويمكن فرض حلّ فروبنيوس

وبالتعويض عن “y, في المعادلة التّفاضليّة المعطاة نحصل على

لجعل كل حدود المعادلة السابقة حدودًا في قوى ، نضع في كل من المتسـلسـلة الثالثة والرابعة من جهة اليسـار n-1 بدلاً من n، فنحصل على

أو

بمســاواة معاملات بالصـفر مع فرض أن ، فنحصل على معادلة التعريف :

حلّ هذه المعادلة يعطي بما أن  اذن شكل الحلّ ينطبق مع الحالة الأولى من نظرية فروبنيوس ويأخذ الشكل (1.11). وللحصول على الحلّ الأول نقوم اولا بمساواة معاملات بالصفر بغرض الحصول على الصورة الاختزالية العامة

وبالتعويض في هذه الصـورة الاختزالية عن ، نحلّ على الصـــورة الاختزالية لمعاملات الخاصـــة بالحلّ الأول والتي تأخذ الشكل

بالتعويض عن … ,n=1,2,3,4 بالترتيب في هذه الصـورة الاختزالية يمكن أن نحصــل على الشــكل النوني للمعاملات ، والتي تعتمد على المعامل وتأخذ الشكل

وهكذا نجد أن

وبما أنه عندما

إذن فإن الحلّ الأول هو

حيث أي ثابت اختياري غير صـفري. للحصـول على الحلّ الثاني نعوض في الصــورة الاختزالية العامة عن فنحصل على الصورة الاختزالية لمعاملات الخاصـة بالحلّ الثاني والتي تأخذ الشكل

بالتعويض الآن عن … n=1,2,3,4  بالترتيب في هذه الصورة الاختزالية يمكن أن نحصـل على الشـكل النوبي للمعاملات . فإذا بدأنا بالتعويض عن n=1 فإننا نجد أن . وبالاســـتمرار في التعويض ببقية قيم n، نجد أن b الأمر الذي يعني أن الحلّ الثالي يمكن أن يأخذ الشكل

حيث هو أي ثابت اختياري غير صفري. إذن الحلّ العام للمعادلة

(مثال2): باستخدام طريقة متسلسلات القوى، أوجد الحلّ العام للمعادلة  

الحلّ : في هذه المعادلة لدينا

             وبما أن                                                

إذن فإن هي نقطة شــاذة للمعادلة المعطاة. وبما أن الدالتين هما دالتان تحلّيليتان عند النقطة

حيث

وأيضا فإن :

إذن النقطة هي نقطة شــــاذة منتظمـة. إذن نفرض حلّ فروبنيوس

بالتعويض عن “y, في المعادلة المعطاة نحصل على :

نضع n-1 بدلاً من n في المتسلسلة الثالثة من جهة اليسار، وذلك حتى تكون في قوى n+r وليس قوى n+r+1 ، اذن :

أو

بمسـاواة معاملات بالصـفر، مع فرض أن نحصـل على معادلة تعريف r في الشكل

حلّ هـذه المعـادلـة يعطي . وبــا أن الجـذرين متسـاويان، إذن وحسـب الحالة الثالثة من نظرية فروبنيوس فإن الحلّ الـعــام لـلـمـعــادلـة التّفاضليّة المــعـطـاة هــو حيث يأخذان الشــكلين (1.15) , (1.14) على الترتيب بمســاواة معاملات  بالصفر نحصل على الصورة الاختزالية العامة

للحصــول على المعامالات الخاصــة بالحلّ الأول نعوض عن فنحصل على الصورة الاختزالية

                                  أو                      
حيث نجد منها أن

وبالتالي فإن

وبعا أنه عند n=0 فإن اذن فأن :

للحصـول على المعاملات ، وذلك حتى نتمكن من إيجاد الشـكل النهائي للحلّ الثاني (x) نقوم بتفاضــل الحلّ فنحصل على

وبتفاضل  نحصل على

وبالتعويض عن الكميـات بدلا من الكميات في المعادلة التّفاضليّة المعطاة نحصل على :

وبإعادة ترتيب الحدود نجد أن

وبما أن الحد الأخير من المعادلة السابقة يتلاشى، وذلك لأن هو ايضا حلّ المعادلة الاصلية المعطاة وبالتالي يحققها بمعنى أن

إذن

إذن، بالتعويض عن

في المعادلة الســـابقة مع فرض أن (لاحظ أن تأخذ قيماً اختيارية) نجد أن

 

نلاحظ هنا أنه قد تم وضـــع n-1 بدلاً من n في المتســـلســـلة فأصبحت .الأن بأعادة ترتيب المعادلة السابقة نحصل على :

وبمساواة معاملات قوى x المختلفة بالصفر للحصول على المعاملات نجد أن :

إذن الصورة الاختزالية للمعاملات هي

ومنها نجد أن

إذن الحلّ الثانى

(مثال3) باستخدام طريقة متسلسلات القوى، أوجد الحلّ العام للمعادلة ^{(6) , (8)}  

الحلّ / في هذه المعادلة لدينا

وبما أن

إذن هي نقطة شاذة . وبما ان الدالتين هما تحلّيليتان عند وذلك بسبب ان :

كما أن

إذن فأن النقطة هي نقطة شــــاذة منتظمـة. ولذا نفرض حلّ فروبنيوس عن “y, والاختصار نجد أن :

بفرض أن يمكن أن نحصل على معادلة تعريف في الشكل

بحلّها نجد أن

وبما أن . أذن وحسب الحالة الثانية من نظرية فروبنيوس فإن الحلّ العام للمعادلة التّفاضليّة المعطاة يأخذ الشكل

حيث الحلّان , يعطيان من (1.12)، (1.13). الآن وبعد مساواة معاملات بالصفر نحصل على الصورة الاختزالية
العامة في الشكل

وللحصول على معاملات عن فنحصل على الصورة الاختزالية

وبالتالي فإن :

بما أن الحلّ الثاني يأخذ الشكل

إذن بوضع r =-1 نجد ان :

هكذا نرى أنه للحصـول على الشكل النهائي للحلّ الثاني   علينا بالحصول على معاملات وبتفاضل الحلّ نحصل على إذن، وبالتعويض بدلاً من بالمعادلة التّفاضليّة نحصل على :

وبإعادة ترتيب حدود هذه المعادلة نجد أنها تتحول إلى الشكل الجديد

وبما أن الحد الأول من المعادلة السـابقة يتلاشى وذلك لان هو أيضاً حلّ للمعادلة الأصلية المعطاة وبالتالي يحققها بعنى أن

إذن، بالتعويض عن , في المعادلة السابقة، مع فرض أن (لاحظ أن تأخذ قيماً اختيارية)، ومسـاواة معاملات قوى المختلفة بالصفرحتى نتمكن من الحصول على المعاملات    نجد أن :

بمســاواة المعاملات بدأُ من معاملات قوى  إلى معاملات قوى الاعلى من  بالصفر نحصل على قيم المعاملات الباقية حيث نجد انهم جميعا يعتمدون على المعامل اذن فالمعامل يمكن اعتباره اختياريا ويمكن عندئذ اختياره مساويا للصفر، إذن الحلّ الثاني هو :

وبما أن إذن فإن

 

المصادر

1. المطرفي، نجيب نقيع وعبد الله عبد الله موسى (٢٠١٢) المعادلات التفاصيلية، النظرية والتطبيق ط1، فى أدارة النشر العلمي/ جامعة الطائف/ المملكة العربية السعودية (1-5).
2. أحمد، عبد الله البطحاني (2014): ملخصات في المعادلات التّفاضليّة الجزئيّة/ المملكة العربية السعودية – جامعة سبها/ كلية العلوم (15-17).
3. الحاج، نزهة محمد (2016): حلّ المعادلات التّفاضليّة باستخدام المتسلسلات جامعة سبها/ كلية العلوم/ قسم الرياضيات/ الملكة العربية السعودية (4-5).
4. عبد، فؤاد حمزة (٢٠١٥): محاضرات في الرياضيات/ جامعة بابل – كلية العلوم (1-7).
5. محمد، أسامة (٢٠١٨) ملخص المعادلات التّفاضليّة جامعة الانبار (5-25).
6. شكر الله، أميل صبحي (2018): المعادلات التّفاضليّة العادية/ جامعة الفرقان/ العلوم قسم الرياضيات/ المملكة العربية السعودية (3-8).
7. صابر، جمال عبد العزيز (2009): بحوث العليمات في المحاسبة، جامعة القاهرة/ كلية العلوم (5-20).
8. كومار، براويت (2009): عجائب الحساب العقلي ط1 دار الشروق للطباعة والنشر، عمان (2-3).

 

المدرس المساعد زياد عبد

المدرس المساعد وسام داوود

[1] – مدرس مساعد في جامعة النهرين – كلية العلوم – قسم علوم الحاسوب

AL-Nahrain University – College Of Scinces- Computer Science Department- Email: zeyad.mohammed@nahrainuniv.edu.iq– Phone Number:+9647706282431

[2] – مدرّس مساعد جامعة النهرين- كلية العلوم – قسم علوم الحاسوب

AL-Nahrain University / College Of Scinces- Computer Science Department-

Email: wisam.rafid@nahrainuniv.edu.iq Phone Number:+9647710587173